หนังสือเรียนคณิตศาสตร์มัธยมศึกษาตอนปลาย รายวิชาบังคับ ชั้นปีที่ 1 (ฉบับ A): พื้นฐานตรรกะ: หลักการเปรียบเทียบจำนวนจริงและพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการ

การเปรียบเทียบขนาดของจำนวนจริงเป็นรากฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด ในเส้นจำนวน จำนวนจริงแต่ละตัวมีจุดตรงกันอย่างเดียว การสังเกตตำแหน่งของจุดช่วยให้เราเข้าใจความไม่เท่ากันได้อย่างชัดเจน

ข้อเท็จจริงพื้นฐาน:

หาก $a-b$ เป็นจำนวนบวก แล้ว $a>b$;
หาก $a-b$ เท่ากับ 0 แล้ว $a=b$;
หาก $a-b$ เป็นจำนวนลบ แล้ว $a< b$

0 เป็นจุดแบ่งระหว่างจำนวนบวกและจำนวนลบ และทำหน้าที่เป็นจุดอ้างอิงในการเปรียบเทียบขนาดของจำนวนจริง ด้วยวิธีการหาผลต่าง เราสามารถเปลี่ยนการเปรียบเทียบขนาดของพจน์เชิงพีชคณิตที่ซับซ้อนให้กลายเป็นการตรวจสอบว่าผลต่างมีค่าเป็นบวกหรือลบ ซึ่งเป็นวิธีพื้นฐานที่สุดในการพิสูจน์อสมการ

คุณสมบัติหลักของอสมการ:
1. คุณสมบัติการถ่ายทอด: $a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. คุณสมบัติการบวก: $a > b \iff a + c > b + c$
3. คุณสมบัติการคูณ: $c > 0 \Rightarrow ac > bc$; $c < 0 \Rightarrow ac < bc$

$$a > b \iff a - b > 0$$

คำถามที่ 1

ข้อใดต่อไปนี้แสดงการจำลองความสัมพันธ์ของอสมการผิด?

ความเร็วจำกัดบนถนนบางช่วงคือ $40\text{ km/h}$ แสดงเป็น $v \le 40$

ปริมาณไขมันในโยเกิร์ต $f$ ไม่น้อยกว่า $2.5\%$ แสดงเป็น $f > 2.5\%$

ผลรวมของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมากกว่าด้านที่สาม แสดงเป็น $a+b > c$

ความยาวของเส้นตั้งฉาก $d_{\text{ตั้ง}}$ ไม่มากกว่าความยาวของเส้นเอียง $d_{\text{เอียง}}$ แสดงเป็น $d_{\text{ตั้ง}} \le d_{\text{เอียง}}$

คำถามที่ 2

ผลของการเปรียบเทียบขนาดของ $(x+3)(x+7)$ กับ $(x+4)(x+6)$ คือ:

$(x+3)(x+7) > (x+4)(x+6)$

$(x+3)(x+7) = (x+4)(x+6)$

$(x+3)(x+7) < (x+4)(x+6)$

ไม่สามารถระบุได้ ขึ้นอยู่กับค่าของ $x$

คำถามที่ 3

เมื่อพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการ ข้อ 1, 3, 4, 6 ข้อพื้นฐานที่สุดที่อ้างอิงคือ:

ข้อเท็จจริงพื้นฐานของการเปรียบเทียบขนาดจำนวนจริง ($a>b \iff a-b>0$)

คุณสมบัติสมมาตรและการถ่ายทอดของสมการ

คุณสมบัติการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปเรขาคณิต

คำถามที่ 4

หาก $x$ เป็นจำนวนจริง แล้วเงื่อนไขที่ทำให้ $\sqrt{x^2+x-12}$ มีความหมายคือ:

$x > 3$ หรือ $x < -4$

$x \ge 3$ หรือ $x \le -4$

$-4 \le x \le 3$

$x \in \mathbf{R}$

คำถามที่ 5

หาก $a>b$ และ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ แล้ว ต้องเป็นจริงว่า:

$ab > 0$

$ab < 0$

$a > 0, b < 0$

$a < 0, b > 0$

คำถามที่ 6

หาก $a, b > 0$ และ $ab = a+b+3$ จงหาช่วงค่าของ $ab$

$ab \ge 4$

$ab \ge 9$

$ab > 3$

$ab \ge 6$

คำถามที่ 7

ข้อความใดต่อไปนี้เกี่ยวกับคุณสมบัติของอสมการถูกต้อง?

若 $a>b, c>d$，则 $ac > bd$

若 $a>b$，则 $ac^2 > bc^2$

若 $a>b>0$，则 $\frac{1}{a^2} < \frac{1}{b^2}$

若 $a>b, c< d$，则 $a-c < b-d$

คำถามที่ 8

ทราบว่า $a > b$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{a+b}{2} > b$ โดยใช้ขั้นตอนเหตุผลที่ถูกต้อง:

因为 $a > b$, 所以 $a+b > 2b$, 故 $\frac{a+b}{2} > b$

因为 $b < a$, 所以 $\frac{a}{2} < b$, 故不成立

ได้จากคุณสมบัติพื้นฐานของอสมการโดยตรง

เกิดขึ้นเฉพาะเมื่อ $a=b$ เท่านั้น

คำถามที่ 9

ทางหลวงบางแห่งกำหนดว่าความสูงรวมของรถและสินค้า $h$ ต้องไม่เกิน $4\text{m}$ แสดงทางคณิตศาสตร์คือ:

$h < 4$

$h \le 4$

$h > 4$

$0 < h \le 4$

คำถามที่ 10

เปรียบเทียบพื้นที่ $S_1$ ของวงกลม (เส้นรอบวง $L$) กับพื้นที่ $S_2$ ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (เส้นรอบวง $L$):

$S_1 = S_2$

$S_1 > S_2$

$S_1 < S_2$

无法比较，取决于 $L$ 的数值

ความท้าทาย: การออกแบบถังเก็บน้ำให้มีต้นทุนต่ำที่สุด

การสร้างแบบจำลองและการประยุกต์ใช้อสมการ

ต้องการสร้างถังเก็บน้ำทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบไม่มีฝาครอบ ปริมาตร $1200 \text{ m}^3$ ความลึก $6 \text{ m}$ ทราบว่าต้นทุนการก่อสร้างผนังถังคือ 95 บาทต่อ $\text{m}^2$ และต้นทุนการก่อสร้างพื้นถังคือ 135 บาทต่อ $\text{m}^2$ จะต้องออกแบบความยาวและความกว้างของถังอย่างไร เพื่อให้ต้นทุนรวมไม่เกิน 70,000 บาท?

งานที่ 1

สร้างแบบจำลองอสมการเกี่ยวกับต้นทุนรวม $y$ กับความยาวด้านฐาน $x$

กำหนดความยาวด้านหนึ่งของฐานเป็น $x$ เมตร ดังนั้นอีกด้านหนึ่งจะเป็น $\frac{1200/6}{x} = \frac{200}{x}$ เมตร
池底面积为 $200 \text{ m}^2$，造价为 $200 \times 135 = 27000$ 元。
พื้นที่รวมของผนังถังคือ $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12(x + \frac{200}{x})$
ต้นทุนรวม $y = 27000 + 95 \times 12(x + \frac{200}{x}) = 27000 + 1140(x + \frac{200}{x})$
要求 $y \le 70000$。

งานที่ 2

求解不等式，确定长与宽的取值范围（精确到 $0.1 \text{ m}$）。

$27000 + 1140(x + \frac{200}{x}) \le 70000$
$1140(x + \frac{200}{x}) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
整理得 $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$。
利用求根公式得 $x \approx 6.4$ 或 $x \approx 31.3$。
故长与宽的范围应在 $6.4 \text{ m}$ 到 $31.3 \text{ m}$ 之间。